Coniques

Cercle

Lieu géométrique de tous les points dont la distance à 1 point (centre) est constante
Sous-ensemble de l’ellipse

Forme générale : $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ où $F < (\frac{D}{2})^{2} + (\frac{E}{2})^{2}$

Forme canonique :

\begin{aligned} (x - h)^{2} + (y - k)^{2} & = r^{2} \\ D & = - 2 h \\ E & = - 2 k \\ F & = h^{2} + k^{2} - r^{2} \end{aligned}

Ellipse

Lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances à 2 points (foyers) est constante

Forme générale : $A x^{2} + B y^{2} + D x + E y + F = 0$ où $A$ et $B$ sont différents et de même signe

Forme canonique :

\begin{aligned} \frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} & = 1 \\ Longueurs des axes de symétrie & : 2 a, 2 b \\ Somme des distances aux foyers & : m a x (2 a, 2 b) \end{aligned}

Parabole

Lieu géométrique de tous les points dont les distances à 1 point (foyer) et à une droite (directive) sont égales
Courbe divergente crée par une section conique parallèle

	Forme canonique (verticale)	Forme canonique (horizontale)
Équation	$(x - h)^{2} = 4 c (y - k)$	$(y - k)^{2} = 4 c (x - h)$
Sommet	$(h, c + k)$	$(c + h, k)$
Directrice	$y = k - c$	$x = h - c$

Hyperbole

Lieu géométrique de tous les points dont la différence absolue des distances à 2 points (foyers) est constante
Courbe qui s’approche de deux asymptotes. Toujours en paire

Forme générale : $A x^{2} + B y^{2} + D x + E y + F = 0 où A B$

	Forme canonique (verticale)	Forme canonique (horizontale)
Équation	$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = - 1$	$\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$
$c$	$a^{2} + b^{2}$	$a^{2} + b^{2}$
Sommets	$(h, - b + k), (h, b + k)$	$(- a + h, k), (a + h, k)$
Foyers	$(h, - c + k), (h, c + k)$	$(- c + h, k), (c + h, k)$
Asymptotes	$y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$	$y = \pm \frac{b}{a} (x - h) + k$

- Preuve des asymptotes

\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} & = \pm 1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} & = \frac{x^{2}}{a^{2}} \mp 1 \\ y^{2} & = b^{2} (\frac{x^{2}}{a^{2}} \mp \frac{a^{2}}{a^{2}}) \\ y & = \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} (x^{2} \mp a^{2})} \\ y & \approx \pm \frac{b}{a} x \end{aligned}

Contributors

Ajitani Hifumi

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